Skew-Symmetric Matrix

斜对称矩阵也称反对称矩阵，满足：

  • \(A^T = -A\)，也表示为\(a_{ij} = -a_{ji}\)。
  • 主对角元素均为\(0\)。
  • \(x^T A x = 0\).

Cross Product

叉乘也称向量积，运算结果为向量：

\[\mathbf{a}\times\mathbf{b} = \lVert \mathbf{a} \rVert \lVert\mathbf{b}\rVert \sin\theta \mathbf{n},\]

其中，\(\mathbf{n}\)是一个与\(\mathbf{a},\mathbf{b}\)所构成的平面垂直的单位向量。

向量叉乘可以结合斜对阵矩阵，转化为：

\[a\times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = \begin{bmatrix} a_2b_3-a_3b_2 \\ -(a_1b_3-a_3b_1) \\ a_1b_2-a_2b_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}.\]

定义\(\mathbf{a}\)的斜对称矩阵为：

\[\hat{\mathbf{a}} = \begin{bmatrix} 0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{bmatrix}.\]

因此：

\[a\times b = \hat{a}b,\] \[a\times(a\times b) = \hat{a}^2 b.\]